Był najstarszym duchownym archidiecezji katowickiej. Przeżył prawie 106 lat, w tym ponad 82 lata jako ksiądz.
Urodził się 24 grudnia 1915 r. w Chorzowie. Po ukończeniu szkoły średniej wstąpił do Wyższego Śląskiego Seminarium Duchownego i ukończył studia na Wydziale Teologicznym Uniwersytetu Jagiellońskiego w Krakowie. Święcenia prezbiteratu przyjął z rąk bp. Stanisława Adamskiego 25 czerwca 1939 roku. Jego kolegą rocznikowym był m. in. sługa Boży ks. Jan Franciszek Macha, którego beatyfikacja odbędzie 20 listopada w Katowicach.
Jako wikariusz ks. Pośpiech posługiwał w parafiach: św. Antoniego z Padwy w Chorzowie, św. Pawła w Nowym Bytomiu oraz św. Wojciecha w Mikołowie. W 1941 roku został aresztowany przez Gestapo i powołany do wojska niemieckiego, gdzie pracował jako sanitariusz. W 1945 roku krótko przebywał w niewoli amerykańskiej we Friedensthal, a po zakończeniu wojny ze względów zdrowotnych, za radą lekarza, wyjechał do Szwajcarii, gdzie do 1971 roku posługiwał jako duszpasterz parafialny.
Ze względu na chorobę serca musiał zrezygnować z czynnej pracy w parafii i został kapelanem szpitala i sióstr urszulanek w Brig (diecezja Sion). Służył tam jako ojciec duchowny i spowiednik także po przejściu na emeryturę w 1984 roku. "Dla nas ks. Józef jest wielkim świadectwem. Jest kapłanem o wielkim sercu, otwartym na drugiego człowieka i bardzo empatycznym. Często wypytuje o Polskę, chce wiedzieć, czym żyje jego ojczyzna, o której nigdy nie zapomniał. Modli się za archidiecezję, o nowe powołania kapłańskie i zakonne. Myślami i modlitwą jest z abp. Wiktorem Skworcem, zawsze jest bardzo szczęśliwy, gdy arcybiskup go odwiedza" - mówiła w 2019 roku w rozmowie z "Gościem Katowickim" s. Nazaria ze zgromadzenia Sióstr Opatrzności Bożej, Polka pracująca w Szwajcarii.
W 2014 roku został mianowany kapelanem Jego Świątobliwości. Nominację przekazał mu osobiście abp Wiktor Skworc.
W 2019 roku ks. Pośpiech świętował jubileusz 80-lecia święceń prezbiteratu. W życzeniach podpisanych przez metropolitę katowickiego, arcybiskupa seniora Damiana Zimonia oraz biskupów pomocniczych czytamy m.in.: "Włączając się w tę modlitwę dziękczynienia, dzielimy radość tego pięknego Jubileuszu i dziękujemy Księdzu za pełnioną z wielkim oddaniem posługę".
Ks. prałat Pośpiech zmarł 22 października w Domu Spokojnej Starości w Visp. Zapytany kiedyś o receptę na długowieczność odpowiedział, że "trzeba żyć zgodnie z przykazaniami, z rytmem natury i przynajmniej raz w miesiącu przystępować do spowiedzi, aby trwać w pokoju z Bogiem i z człowiekiem".
Jego pogrzeb odbędzie się 26 października w Brig w Szwajcarii.